Jest najmłodszym z sześciorga dzieci księgowego. Zanim zdecydował się zostać aktorem, rozpoczął studia ekonomiczne w Canberze. W 1986 roku zdobył dyplom prestiżowej australijskiej szkoły teatralnej National Institute of Dramatic Arts. Aktualnie ma mieszkanie w Notting Hill w Londynie. Roxburgh otrzymał liczne nominacje Australijskiego Instytutu Filmowego (AFI) i wygrał w kategorii "najlepszy aktor w roli głównej", jak też otrzymał nagrodę krytyków australijskich za występ w "Doing Time For Patsy Cline". Aktor wystąpił również w wielu rolach teatralnych, jak choćby w "Hamlecie", za którego zebrał pochlebne recenzje oraz otrzyma wiele nagród, m.in. Nagrodę Krytyków Teatralnych Sydney w kategorii "najlepsze przedstawienie aktorskie". Inne sztuki, w których wziął udział to: "The Seagull" i "On Parliament Hill". Roxburgh pojawił się także poza granicami Australii w rolach w "Closer", "The Homecoming", "Burn This" i "Romeo i Julia". Richard ma na swoim koncie także role telewizyjne, m.in. kreację Rogera Rogersona w kontrowersyjnym i oklaskiwanym przez krytyków serialu dramatycznym "Blue Murder", za który otrzymał "Australian Logic Award for Most Outstanding Actor".